logo WSiP
logo archiwum m_2001 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Matematyka 2001 -- Archiwum



szukaj w archiwum
powrót do serwisu m_2001
powrót do strony głównej WSiP

KONSTRUKCJE


Jak w układzie współrzędnych wyznaczyć iloczyn dwóch liczb? klasy 1-3 G
Można go wyznaczyć także przez zginanie kartki.

Wybierz dwie dowolne liczby, np. 4 i -2.
Narysuj układ współrzędnych. Zaznacz na osi y punkt (0, 1) i oznacz go I. Odcinek OI będzie jednostką. Zaznacz na osi x punkt A = (4, 0), a na osi y zaznacz punkt B = (0, -2). Połącz odcinkiem punkty I oraz A. Przez punkt B przeprowadź prostą równoległą do IA. Przetnie ona oś x w punkcie C.

Pokaż, że punkt C wskazuje iloczyn liczb 4 i -2. Uzasadnij konstrukcję iloczynu dla dowolnych liczb a i b.


Jak w układzie współrzędnych znaleźć iloraz dwóch liczb? klasy 1-3 G

Wybierz dwie liczby, np. 5 i 2,5. Narysuj układ współrzędnych. Na osi y zaznacz jednostkę I = (0, 1). Zaznacz na osi x liczbę 5, czyli punkt (5,0). Niech to będzie punkt A. Na osi y zaznacz punkt B = (0, 2,5). Połącz odcinkiem punkty A i B. Poprowadź prostą równoległą do tego odcinka, przechodzącą przez punkt I. Przetnie ona oś x w punkcie C.


Pokaż, że punkt C wskazuje iloraz 5/2,5.
Uzasadnij konstrukcję ilorazu dla dowolnych liczb a i b 0.

Rozwiązania obu zadań opierają się na proporcjach i twierdzeniu Talesa. Można je podać uczniom w innej formie, jako zginanie kartki papieru. Taka nietypowa forma wywołuje wtedy dużo większe zainteresowanie uczniów podobnymi problemami.


Algebraiczne rozwiązanie równania kwadratowego x2 - px + q = 0,
p > 0, q > 0,
klasy 2-3 G
jest dużo łatwiejsze, niż jego rozwiązanie geometryczne. Na pewno wychodzi poza materiał szkoły podstawowej. Czasami mamy jednak szczególnie uzdolnionych uczniów, dla których warto to zadanie zachować.

Narysuj układ współrzędnych. Na osi x zaznacz punkt P, np. P = (2, 0), a na osi y zaznacz jednostkę I i punkt Q, np. Q = (0, 3). Narysuj prostokąt o wierzchołkach O, P, Q. Czwarty wierzchołek oznacz M. Połącz odcinkiem punkty M i I. Znajdź środek S tego odcinka. Z punktu S zaznacz łuk promieniem SI. Punkty, w których łuk przetnie oś x, są szukanymi rozwiązaniami równania x2 - px + q = 0.

Widać z konstrukcji, że nie zawsze rozwiązanie tego równania istnieje Jest tu miejsce na ładną analizę rozwiązań równania kwadratowego, jest miejsce na uzasadnianie i dowodzenie.
Wyznaczanie środka okręgu klasy 1-3 G

Narysuj odręcznie dowolny łuk.

rys

Jak znaleźć okrąg, do którego należy ten łuk? Jak już znajdziesz właściwy środek, sprawdź cyrklem, czy narysowany przez Ciebie łuk bardzo różni się od tego idealnego?

W zadaniu tym, pierwszą trudność sprawia uczniom dowolność rysowania łuku. Jaki to ma być łuk? Jak go określić? Czy krzywa w formie litery U jest takim łukiem o jaki nam chodzi czy nie. Wielu uczniów nie będzie jednak widziało tu problemu, od razu zajmując się tylko łukami, będącymi częścią okręgów.

Jest to przykład sytuacji, kiedy pewne założenia przyjęte są milcząco. Nie są jasno sprecyzowane, ale od uczniów wymaga się rozumienia tych założeń.
Warto jest zwrócić na to uwagę uczniów i w dyskusji uściślić założenia. Może trzeba będzie nawet trochę zmienić treść zadania.

Bardzo proste rozwiązanie -- przecięcie prostych prostopadłych do stycznych w dowolnie wybranych dwóch punktach łuku -- zwykle bardzo szokuje uczniów. Często analizują konstrukcję środka okręgu kilkakrotnie, zanim są naprawdę przekonani o jej poprawności. Dobrze więc dać uczniom czas i możliwość wykonania wielu doświadczeń.


Czworokąt w ośmiokącie klasy 1-2 G
Jaka jest długość obwodu zaznaczonego czworokąta?

rys

Znalezienie odpowiedzi wymaga wiedzy, jak z kwadratu powstaje ośmiokąt foremny. Dodatkową trudnością jest tu pewna otwartość tego zadania. Nie mówimy wyraźnie na jakiej wielkości uczeń może się oprzeć-- na boku ośmiokąta, na boku kwadratu, czy może jeszcze inaczej. Wielu uczniów będzie zdezorientowanych. Dobrze jest czasami postawić ucznia w sytuacji, gdzie rozwiązanie zależy od przyjętych przez niego danych początkowych.


Trójkąty w pięciokącie klasa 6 SP
klasy 1-2 G
Mamy pięciokąt foremny ABCDE o boku równym 1. Przedłużamy boki AB i CD i punkt przecięcia oznaczamy F. Wykaż, że trójkąty CBF i EDB są przystające.

rys

Jest to przykład zadania, które można dać uczniom zarówno w klasie 5 jak i w 8-ej. Wszystko zależy od tego jakie pytania postawimy przed uczniami. Dla dzieci młodszych samo narysowanie pięciokąta foremnego może sprawiać kłopoty. Najlepiej jest oprzeć się na podziale koła na pięć równych kątów. Warto jednak, aby dzieci dość wcześnie poznały tę piękną figurę i jej własności, narysowały wszystkie przekątne, wskazały równe odcinki, znalazły trójkąty przystające i podobne. Polecenie w zadaniu można rozszerzyć na przedłużenie wszystkich boków. Powstaje wtedy gwiazda pięcioramienna, którą dalej uczniowie mogą badać.

Z uczniami klas starszych można zacząć od wykonania poprawnej konstrukcji. Polecenie w treści zadania można także trochę rozszerzyć- Uzasadnij, że trójkąty CDB i FDB są podobne. Oznaczając długość przekątnej pięciokąta przez x ułóż proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów DBF i CDB.

rys

Warto, aby uczniowie oddzielnie narysowali tę sytuację . Dobrze jest poprosić o słowne wypowiedzenie uzyskanej proporcji: może któryś z uczniów wypowie ją w sposób zbliżony do klasycznej greckiej definicji złotego podziału odcinka: stosunek większego odcinka do mniejszego ma być równy stosunkowi większemu z odcinków do mniejszego.

Niestety nie można prosić uczniów o znalezienie długości przekątnej w pięciokącie , gdyż wymaga to rozwiązania równania kwadratowego uzyskanego z proporcji, czego uczniowie jeszcze nie umieją. Można im jedynie powiedzieć, że długość ta wyraża się liczbą rys i że jest to liczba złota. Warto, aby dzieci na kalkulatorze sprawdziły jaka jest wartość tej liczby.
Na temat liczby złotej można zresztą zaplanować kilka ładnych lekcji.

W klasie 8-ej, kiedy uczniowie znają już proporcje trygonometryczne, można prosić uczniów o obliczenie długości przekątnej. Chodzi nam wtedy o zastosowanie związków trygonometrycznych i wyrażenie tej długości przez sin 54° lub cos 36°. Wartość liczbową muszą uczniowie znaleźć w tablicach, lub na odpowiednim kalkulatorze. Łącząc te wszystkie elementy otrzymamy, że liczba złota równa jest 2cos 36°.


Ornamenty islamskie klasy 1-2 G

W sztuce Islamu znajduje się wiele pięknych regularnych ornamentów. Metody tworzenia tej ornamentyki są mocno oparte o własności podstawowych figur płaskich, jakimi są wielokąty foremne i symetrię. Pokażemy kilka przykładów takich konstrukcji.

Zacznijmy od kwadratu.
Na prostej wybieramy punkt O mający być środkiem okręgu i rysujemy ten okrąg. Zaznaczamy punkty przecięcia z prostą, (A, B). Przez środek okręgu prowadzimy prostą prostopadłą i zaznaczamy punkty przecięcia tej prostej z okręgiem, (C, D). Cztery uzyskane punkty są punktami styczności kwadratu opisanego na naszym okręgu. Rysujemy ten kwadrat.

rys
Jeśli z punktów A,B,C,D zakreślimy półokręgi o promieniu np. AO, uzyskamy kwadrat wpisany w wyjściowy okrąg.
rys
Wystarczy teraz poprowadzić dodatkowe linie, aby uzyskać "kafelek", z którego przez różne symetrie uzyskamy piękne ornamenty.
rys
A oto inny przykład:
rys
Dołączając kolory -- wzbogacimy pierwotny wzór!
rys

Spróbujmy poprosić uczniów o wykonanie różnych takich ornamentów nie tylko na bazie kwadratu, lecz np. w oparciu o sześciokąt foremny lub pięciokąt foremny.

Konstrukcja pięciokąta foremnego:

rys
Podobnie jak poprzednio, na prostej rysujemy okrąg zaznaczając środek O i punkty przecięcia A i B. Wystawiamy w środku okręgu prostą prostopadłą i zaznaczamy punkt C. Odcinek OB. połowimy i zaznaczamy tam punkt S. Z punktu S, promieniem SC zakreślamy łuk i zaznaczamy na odcinku AO, punkt przecięcia T. Poczynając od punktu C zakreślamy łuki promieniem TC, oznaczając kolejno przecięcia łuków z wyjściowym okręgiem, jako D,E,F,G. Na bazie pięciokąta, można utworzyć bardzo ciekawe wzory:
rys

Sześciokąt jest najłatwiejszą figurą do skonstruowania -- wystarczy z dowolnego punktu na okręgu, zakreślać łuki o promieniowi równym promieniu koła.

rys

Bardzo ciekawe ornamenty można także uzyskać na bazie np. rombu:

rys

Zabawny jest sposób otrzymania dziewięciokąta foremnego: bierzemy dziesięciokąt foremny z zaznaczonym środkiem okręgu opisanego. Wycinamy go i przecinamy wzdłuż jednego z promieni od wierzchołka do środka figury. Następnie nakładamy na siebie dwa sąsiednie trójkąciki . Powstanie nam ostrosłup o podstawie dziewięciokąta, (wygodnie jest skleić lub sczepić ścianki zszywaczem). Ten ostrosłup opieramy na kartce papieru i obrysowujemy jego podstawę. Jest to pożądany przez nas dziewięciokąt foremny.

rys

(Prosimy przekonać się, czy jest to metoda ogólna: czy z kwadratu możemy w ten sposób uzyskać trójkąt równoboczny, z pięciokąta foremnego kwadrat etc.) trudniej jest odpowiedzieć na drugie pytanie -- są tu obliczenia raczej dla lepszych uczniów.


Kardioida klasy 1-2 G 
Narysuj dowolny okrąg i zaznacz na nim punkt. Przez ten punkt rysuj różne okręgi, których środki zawsze znajdują się na początkowym okręgu. Linia, która powstaje z zewnętrznego obrysu tych okręgów to kardioida.

Spróbuj ją narysować (luty to miesiąc Walentynek!). Będzie ci łatwiej, jeśli pierwszy okrąg zaznaczysz wyraźnie innym kolorem. Użyj kolorów do pomalowania kardioidy, tak, aby wydobyć różne tworzące się wzory i regularności.

rys

Jakie krzywe otrzymamy, jeśli wyjściowy okrąg zastąpimy trójkątem równobocznym lub kwadratem? A co się zmieni, jeśli weźmiemy dowolny trójkąt? Czy potrafisz przy pomocy kolorów uzyskać ładne, ciekawe wzory?
A może warto urządzić taki konkurs?


Elipsa i jajo klasy 1-3 G
W jeden punkt na kartce wbij szpilkę i przyczep do niego koniec sznureczka (nitki). Drugi koniec tego sznurka zaczep w drugim punkcie. Weź długopis i naprężając sznurek rysuj linię. Kształt, który powstanie to połówka elipsy. Teraz dorysuj drugą połówkę.
rys
Spójrz na rysunek: jaką własność mają punkty leżące na elipsie czyli czym charakteryzuje się |AC| + |CB| ? O punktach A i B mówimy, że są to ogniska elipsy. rys

Umieść patyczek w punkcie A i przywiąż do niego sznurek. Drugi koniec przeciągnij naokoło drugiego patyczka, będącego w punkcie B. Koniec sznurka przywiąż do długopisu. Ustaw długopis tak, aby cały sznurek znajdował się po tej samej stronie długopisu. Ciągnij długopis, utrzymując naprężony sznurek i rysuj linię. Uzyskasz najpierw jedną połówkę - potem zmień stronę i dorysuj drugą. rys

A teraz dorysuj brakujące łuki tak jak przy rysowaniu elipsy. Jeśli wykonałeś wszystko względnie dokładnie otrzymasz śliczne jajo. Jak określisz teraz własność punktów na jajowatej krzywej? Ta krzywa nosi nazwę "owal kartezjański".

Jajowate kształty - czyli połączenie okręgu i elipsy można uzyskać na wiele innych sposobów. Poniżej podajemy jeden z nich. A może ty wymyślisz inny sposób?

  1. Narysuj okrąg o dowolnym promieniu. Narysuj proste, na których leżą dwie prostopadłe średnice i zaznacz punkty przecięcia z okręgiem: A,B,C,D.
    rys
  2. Z punktów A i B narysuj okręgi o promieniu AB. Przeprowadź półprostą przechodzącą przez punkty B i C oraz półprostą przechodząca przez punkty A i C. Zaznacz ich punkty przecięcia z narysowanymi okręgami jako E i F.
  3. Z punktu C narysuj łuk od punktu E do F promieniem CE.
    rys
  4. Łuki ADB, BE, EF, FA tworzą szukany jajowaty kształt.

Spróbuj obliczyć jaka jest długość linii brzegowej tej krzywej. Jakie jest pole wnętrza tej krzywej?

Takie nietypowe ćwiczenia na lekcji bardzo pobudzają wyobraźnię i zainteresowanie uczniów. Czasami potrzebne jest zbiorowe działanie ( nie jest łatwo samemu manipulować sznurkami, patyczkami, szpilkami i długopisami). Możemy też mieć trochę trudniejszego liczenia. Obliczenia zawsze można dodatkowo wzbogacić prosząc np. o różne procentowe odniesienia.


Prostowanie okręgu klasy 2-3 G

Wykreśl prostokąt ABCD, którego boki są w stosunku 2 : 3. Na krótszym boku narysuj półokrąg wewnątrz prostokąta tak, aby cały ten bok był średnicą. Ze środka O okręgu, poprowadź półprostą pod kątem 30° przecinającą dłuższy bok prostokąta w punkcie P. Połącz punkt P z przeciwległym wierzchołkiem B. Sprawdź, że długość odcinka BP jest prawie równa długości półokręgu.



Jaka będzie różnica długości odcinka PB i długości półokręgu, jeśli przyjmiesz, że boki prostokąta mają długość 2 i 3 metry?
Środek okręgu klasa 6 SP
klasa 1 G
Jak wyznaczyć środek okręgu, mając tylko ekierkę i ołówek?

Trójkąt z trapezu klasa 6 SP
klasa 1 G
Narysuj dowolny trapez. Znajdź trójkąt o tym samym polu co twój narysowany trapez.
Jak narysować okrąg bez cyrkla klasa 6 SP
klasa 1 G

Zwykle okrąg rysowany " od ręki nie bardzo wychodzi". Chcielibyśmy do trzech punktów, o których wiadomo, że zawsze leżą na jakiś okręgu dorzucić jeszcze jakieś. Jak je znaleźć? Pokażemy sposób na znalezienie kilku punktów leżących na jednym okręgu. Można bawić się z uczniami prosząc, aby wyznaczali te punkt, szkicowali okrąg, a następnie sprawdzali cyrklem swoją dokładność.

Przepis:

  • Zaznaczamy dowolne 3 punkty, rysujemy trójkąt ABC, a następnie na każdym boku zaznaczamy punkty środkowe K, L, M.
  • Z wierzchołka C wyznaczamy wysokość na bok AB. Oznaczamy punkt rzutu wierzchołka C literą D.
  • Dowodzimy, że czworokąt KLMD jest trapezem równoramiennym.
  • Ponieważ trapez równoramienny da się wpisać w okrąg, (wyjaśnij dlaczego), więc punkty D, K, L, M, leżą na tym samym okręgu.
  • Jeśli z wierzchołków A i B także poprowadzimy wysokości, ich rzuty będą również leżały na tym samym okręgu. Mamy więc już 6 punktów leżących na jednym okręgu.

Istotnym punktem tej konstrukcji jest oczywiście dowód. Ale jest na tyle prosty, że wielu uczniów poradzi z nim sobie bez większych problemów.
Uczniom z gimnazjum, szczególnie zainteresowanym matematyką, można pokazać, że punkty będące środkami odcinków między punktem P przecięcia się wysokości a wierzchołkami, też leżą na tym okręgu. Daje to aż 9 punktów.

Dowód sprowadza się do pokazania, że czworokąt DKMR daje się wpisać w okrąg. Dodatkowo łatwo można wyznaczyć środek tego okręgu: kąt KMR jest prosty, więc odcinek KR jest średnicą, zatem jego środek jest środkiem naszego okręgu.


[ Ciąg dalszy ]

szukaj w archiwum ] [ serwis m_2001 ] [ strona główna WSiP ]

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna